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Tangente H.S. n° 21, 104-109, ISSN 0987-0806

 

 

La statistique des étoiles


Frédéric Arenou & Misha Haywood

Observatoire de Paris

 

« Before turning to the result of counting, the impossibility of counting all the stars must be noted » F. Seares, 1928

 

 

Notre Galaxie, la Voie Lactée, est un ensemble d'étoiles en orbite dans un champ gravitationnel, et c'est une galaxie semblable à des millions d'autres. Elle est de forme spirale barrée, et notre Soleil se situe presque dans son plan et à environ 26 000 années-lumière du centre. Schématiquement, on peut distinguer trois populations d'étoiles, en se basant sur l'âge, la composition chimique, la cinématique et la position dans notre Galaxie : un disque mince d'étoiles jeunes, un halo sphérique d'étoiles vieilles, et un bulbe central (Figure 1). À plus petite échelle, on note la présence d'amas d'étoiles, les étoiles étant d'ailleurs fréquemment membres de systèmes doubles ou multiples.

La compréhension de la Galaxie dans laquelle nous vivons, telle qu'elle vient d'être décrite, est en réalité récente, un demi-siècle environ : au début du vingtième siècle, on supposait généralement que le Soleil était près du centre de la Galaxie, d'ailleurs censée contenir tous les objets visibles.

 

 

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Figure 1 : Le ciel vu dans l'infrarouge (1.25, 2.2, et 3.5 μm) par le satellite Cobe, où le disque galactique et le bulbe central de notre Galaxie sont clairement visibles.

Crédits Cobe/Dirbe-Nasa

 

 

Compter les étoiles : pour quoi faire ?

 

Bien qu'un des premiers Catalogues d'étoiles qui nous soit parvenu date du 2ème siècle avant J.C (Hipparque), des siècles furent nécessaires avant que la statistique stellaire, liée au progrès de l'instrumentation, ne devienne un outil qui nous permette d'avancer dans la connaissance de l'univers proche.

 

La première démarche systématique dans ce sens viendra de William Herschel, au XVIII ème siècle. Pour essayer d'appréhender notre système galactique, Herschel sait qu'il faut pouvoir mesurer la parallaxe des étoiles. Il entreprendra de s'attaquer à ce problème avec l'aide des couples d'étoiles, c'est-à-dire deux étoiles proches sur la sphère céleste, dont l'une, lointaine et immobile, servirait de repère pour mesurer le mouvement parallactique de l'autre. Cette tentative se solde par un échec (la première parallaxe ne sera mesurée qu'en 1838, 16 années après la mort d'Herschel), mais elle marque le début du travail d'Herschel pour essayer de comprendre notre système galactique.

 

Herschel se lance alors dans un recensement des étoiles. Il fait des catalogues de nébuleuses, et commence à compter les étoiles qu'il peut voir dans son télescope dans un ensemble de directions. L'idée d'Herschel est simple : déterminer la forme de la Galaxie en comptant les étoiles. Ne pouvant accomplir ce travail sur toute la sphère céleste (il calcule qu'il lui faudrait 800 ans), il choisit quelques directions à explorer. Il lance ainsi pour la première fois la notion de sondages de la Galaxie.

 

Il faut avoir à l'esprit qu'à cette époque, les propriétés des étoiles ne sont pas connues. Pour avoir une idée de leur distances relatives, et inférer ainsi une forme globale de notre système, Herschel est obligé de faire quelques hypothèses drastiques. L'une d'elles supposait que les étoiles avaient toutes la même luminosité intrinsèque. Une autre était que la distance était directement proportionnelle à la magnitude (une étoile de deuxième grandeur était ainsi 2 fois plus éloignée qu'une étoile de première grandeur, etc). Herschel arrive ainsi à déterminer une forme à notre Galaxie, dont la Figure 2 donne une coupe méridionale.

 

Les avancées dans l'étude des étoiles au XIXe siècle permettront d'établir que les hypothèses posées par Herschel étaient fausses. Lui-même, vers la fin de sa vie, s'était mis à douter fortement de certaines d'entre elles (en particulier de celle qui supposait les étoiles toutes de même luminosité intrinsèque). Malgré tout, le travail d'Herschel est le premier exemple d'une démarche qui reste la même jusqu'à aujourd'hui : compter les étoiles dans un ensemble de directions pour essayer d'estimer la forme de la Galaxie. Mais comment faire cette estimation alors qu'on ne peut estimer les distances que d'un petit nombre d'entre elles ?

 

 

Figure 2 : La forme de la Galaxie dans le plan méridional, déduite par Herschel (1785) de son travail de comptage d'étoiles. Le Soleil est signalé par l'étoile au centre.

 

 

L'étape suivante la plus substantielle dans ce domaine n'est pas apparue avant la fin du XIXe siècle (en 1898). Elle provient de l'astronome allemand von Seeliger, et consiste à mettre en équation le résultat des comptages d'étoiles. À savoir : le nombre d'étoiles comptées entre les magnitudes apparentes m et m+dm est la somme d'étoiles intrinsèquement faibles situées à petites distances du Soleil et d'étoiles progressivement plus brillantes situées à des distances plus grandes. En termes mathématiques, on écrit aujourd'hui : A(m,l,b) = ∫ Ω Φ(M) D(r,l,b) r2 dr   où A(m,l,b) est le nombre d'étoiles qui sont comptées dans la direction (l,b) dans un cône d'ouverture Ω, à la magnitude apparente m; D(r,l,b) est le nombre d'étoiles par unité de volume à la distance r du Soleil et Φ(M) est le nombre d'étoiles de magnitude absolue M, par unité de volume au point de normalisation (ici le Soleil), encore appelée fonction de luminosité. La magnitude absolue M est une mesure de la luminosité intrinsèque définie par convention par la relation m - M = 5 log r - 5.

 

Cette équation est appelée « équation fondamentale de la statistique stellaire ». Sa résolution doit permettre, connaissant A(m,l,b) et Φ(M), de calculer D(r,l,b) (ou inversement si on connaît D(r,l,b)). En principe, elle nous donne la répartition des étoiles dans la Galaxie sans avoir à mesurer les distances de chacune d'entre elles : c'est là son sens statistique. On note qu'il y a un coût à payer : c'est de connaître au préalable Φ(M). On voit ici qu'il n'y a guère moyen d'éviter la mesure des distances : pour connaître la statistique des étoiles de différentes magnitudes absolues dans un volume représentatif, il faut pouvoir mesurer leur distance r.

 

 

La distance des étoiles

 

La notion d'effet de perspective quand on parle des étoiles peut paraître absurde, mais cette idée est déjà au centre du débat sur le système héliocentrique de Copernic au XVIème siècle. Ainsi, lorsqu'on regarde les étoiles les plus proches à deux époques différentes de l'année, leur position semble s'être modifiée par rapport aux étoiles plus lointaines (qui constitueraient le décor de fond). Cet effet de perspective vient du fait que la position de la Terre sur son orbite autour du Soleil n'étant pas la même au cours d'une année, notre point de vue s'est modifié. L'angle parallactique (la parallaxe annuelle trigonométrique) est l'angle sous lequel est vu le demi grand axe de l'orbite terrestre depuis l'étoile. La distance r ≈ 1/ϖ de l'étoile est exprimée en parsec si l'angle ϖ est en seconde d'arc.

Tycho Brahé (1546-1601), avait vainement tenté de mettre cet effet en évidence. Herschel, à son époque, savait déjà qu'il n'y avait probablement pas d'étoile avec un angle parallactique supérieur à une seconde de degré. De fait, l'étoile la plus proche de nous (qui possède donc l'angle parallactique le plus grand), Proxima du Centaure, se situe à 4.3 années-lumière (1.3 parsec), soit un angle parallactique de 0.762 seconde de degré.

 

Jusqu'à une période récente, la mesure de la parallaxe annuelle se faisait exclusivement au sol, nécessitant une modélisation délicate de la réfraction et de la turbulence atmosphériques ainsi que la prise en compte des erreurs systématiques spécifiques à chaque instrument (par exemple, déformation mécanique des télescopes). Des effets auxquels échappe l'astrométrie spatiale. Le premier, et d'ailleurs encore le seul, satellite de ce type, Hipparcos, de l'Agence Spatiale Européenne (ASE), a fonctionné entre août 1989 et 1993. Balayant systématiquement le ciel pour observer 118 000 étoiles sélectionnées à l'avance, il a fourni dans un référentiel homogène leur position, leur mouvement propre (déplacement angulaire sur la sphère céleste de l'étoile au cours du temps) et leur parallaxe avec une précision d'un millième de seconde d'arc. Un autre satellite, Gaia, pierre angulaire de l'ASE, est actuellement à l'étude pour un lancement en 2011. Ici, c'est un milliard d'étoiles qui seront observées, soit environ un pourcent de notre Galaxie, avec une précision de quelque millionièmes de seconde d'arc pour les plus brillantes [1]!

 

 

 

 

Des nombres astronomiques

 

Ces exploits techniques masquent cependant la difficulté qu'il y a à construire des échantillons bien définis, étape qui parait évidente dans d'autres domaines de recherche. L'idée naturelle pour inférer la fonction de luminosité Φ(M) d'un échantillon sur la population générale d'étoiles serait de garder tous les objets dans un certain volume autour du Soleil. Mais ceci nécessiterait de connaître les parallaxes d'un nombre gigantesque d'objets : une étoile située à quelques années-lumière du Soleil, mais de luminosité intrinsèque faible est à chercher parmi des centaines de millions d'autres plus lointaines mais de magnitude apparente similaire... La statistique stellaire montre malheureusement que les étoiles les plus communes dans la Galaxie sont les étoiles de petites masses, qui sont aussi les moins lumineuses intrinsèquement.

 

Une autre solution serait de faire la sélection de notre échantillon en prenant tous les objets plus brillants qu'une magnitude apparente donnée. Sanction immédiate, le biais dit de Malmquist (1920) : la magnitude absolue moyenne d'un groupe d'étoiles ne peut pas être obtenue correctement par la moyenne des magnitudes absolues individuelles. Un échantillon limité en magnitude apparente donnera en effet un estimateur biaisé (trop lumineux) de la magnitude absolue moyenne, parce que les étoiles les plus intrinsèquement faibles n'auront pas été sélectionnées. Le biais moyen vaut ΔM = - &sigmaM2 d ln A(m,l,b) / dm, soit environ -1,38 σM2 dans le cas d'une distribution spatiale uniforme d'étoiles, si l'on suppose que les magnitudes absolues M sont distribuées de façon gaussienne d'écart-type &sigmaM.

Même en admettant que l'on ait pu construire un échantillon complet et limité en distance, on aura là encore une estimation biaisée de la magnitude absolue moyenne, mais cette fois à cause d'un deuxième problème : les erreurs aléatoires sur les mesures de parallaxe. La sélection de l'échantillon ne peut se faire en effet que sur la base de la parallaxe mesurée et non de la parallaxe réelle. De manière analogue au biais de Malmquist sur la magnitude, on peut montrer sous l'hypothèse d'erreurs de mesures gaussiennes que la valeur moyenne de la vraie parallaxe ϖ d'étoiles ayant toutes la parallaxe observée ϖ0 vaut E[ϖ | ϖ0] = ϖ0 + &sigmaϖ2 d ln f(ϖ0) / dϖ0f(ϖ0) est la densité de probabilité des parallaxes observées, et &sigmaϖ l'écart-type des erreurs de mesure. Au voisinage solaire, le nombre d'étoiles croît quand la parallaxe décroît (effet de volume), donc la parallaxe moyenne de l'échantillon sera biaisée (trop grande), tout comme sa magnitude absolue moyenne (trop faible). Ce n'est sans doute pas un hasard si les résultats d'Hipparcos ont montré qu'un tiers des étoiles dont on pensait auparavant qu'elles étaient à moins de 25 parsec (la banlieue du Soleil') se trouvaient en réalité au-delà'

 

Compter les étoiles n'est donc pas sans risque statistique, mais c'est la première étape pour comprendre la Galaxie. Aujourd'hui encore, même sans la connaissance de la parallaxe des étoiles, cela reste la façon privilégiée d'explorer notre Galaxie. Elle est à l'origine des découvertes les plus récentes sur la présence de groupes d'étoiles montrant un système galactique bien plus complexe que la vision qu'on en avait au XXème siècle.

 



[1] Et une précision équivalente sur les mesures de vitesse par an. Pour illustrer plus concrètement à quoi cette précision correspond, Gaia, à 1.5 million de kilomètres de la Terre, pourrait facilement mesurer à quelle vitesse grandit un enfant...